تابع گاما (1) - Gamma Function

GammaFunction 

مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

تابع گاما (کامل) Gamma(n) به صورت بسط فاکتوریل (factorial) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:

 Gamma(n)=(n-1)!,                 

که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس Pi(n)=n! است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).

این تابع در همه جا به جز در ..., -1, -2z=0 تحلیلی (analytic) است، و باقیمانده ی آن در z=-k عبارت است از

 Res_(z=-k)Gamma(z)=((-1)^k)/(k!).                

هیچ نقطه ی  z ای را نمی توان یافت که در آن Gamma(z)=0.

در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از Gamma^n(z) (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری [Gamma(z)]^n استفاده می شود.

تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (definite integral) برای R[z]>0 تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)

                (*)           int_0^inftyt^(z-1)e^(-t)dt    =   Gamma(z)                   

2int_0^inftye^(-t^2)t^(2z-1)dt,   =                            

یا

 Gamma(z)=int_0^1[ln(1/t)]^(z-1)dt.                      

تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (incomplete gamma function) بالایی Gamma(a,x) و تابع گامای ناتمام پایینی gamma(a,x) بسط داد.

نمودار قسمت های حقیقی و موهومی  Gamma(z) در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.

با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که

int_0^inftyt^(x-1)e^(-t)dt      =     Gamma(x)                  

[-t^(x-1)e^(-t)]_0^infty+int_0^infty(x-1)t^(x-2)e^(-t)dt      =                             

(x-1)int_0^inftyt^(x-2)e^(-t)dt     =                             

(x-1)Gamma(x-1).     =                             

چنانچه x یک عدد صحیح باشد، آنگاه

(n-1)Gamma(n-1)      =     Gamma(n)                  

(n-1)(n-2)Gamma(n-2)     =                             

(n-1)(n-2)...1     =                             

(n-1)!,     =                             

بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (positive integer) به فاکتوریل تقلیل می یابد.

یک رابطه ی زیبا مابین Gamma(z) و تابع زتای ریمان (Riemann zeta function) zeta(z) به صورت زیر است

 zeta(z)Gamma(z)=int_0^infty(u^(z-1))/(e^u-1)du                 

برای R[z]>1 (Havil 2003, p. 60).

تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (infinite product) یعنی صورت ویراشتراوس (Weierstrass form) تعریف شود:

 Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),                       

که gamma ثابت اویلر ـ ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:

 -ln[Gamma(z)]=lnz+gammaz+sum_(n=1)^infty[ln(1+z/n)-z/n].             

با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:

1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)((1/n)/(1+z/n)-1/n)     =    -(Gamma^'(z))/(Gamma(z))             

1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)     =                            

-Gamma(z)[1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)]    =     Gamma^'(z)           

Gamma(z)Psi(z)   =                       

Gamma(z)psi_0(z)   =                       

-Gamma(1){1+gamma+[(1/2-1)+(1/3-1/2)+...+(1/(n+1)-1/n)+...]}    =    Gamma^'(1)            

-(1+gamma-1)   =                        

-gamma   =                        

-Gamma(n){1/n+gamma+[(1/(1+n)-1)+(1/(2+n)-1/2)+(1/(3+n)-1/3)+...]}   =   Gamma^'(n)             

-(n-1)!(1/n+gamma-sum_(k=1)^(n)1/k),   =                       

که  Psi(z) تابع دی گاما (digamma function) و  psi_0(z) تابع چند گامایی (polygamma function) هستند.  nامین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (polygamma functions) psi_n, psi_(n-1), ..., psi_0 داده می شوند.

ادامه دارد...

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.

Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.

Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.

Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.

Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.

Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.

Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam [(alphabeta)/(1·gamma)]x+[(alpha(alpha+1)beta(beta+1))/(1·2·gamma(gamma+1))]x^2 +[(alpha(alpha+1)(alpha+2)beta(beta+1)(beta+2))/(1·2·3·gamma(gamma+1)(gamma+2))]x^3+ etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.

Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.

Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.

Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.

Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.

Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.

Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, A061549, A068466, and A143503 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function Gamma(x)" and "The Incomplete Gamma gamma(nu;x) and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.

Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968. 

   + مهدی - ۱۱:٠٠ ‎ق.ظ ; ۱۳٩٠/٧/۱٢