از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
 
پرش به: ناوبری, جستجو
یک نمونه از «زیبایی در روش»، اثبات درستی قضیه ی فیثاغورس به روش شکلی، این روش در عین سادگی بسیار هوشمندانه است .

بیشتر ریاضی‌دانان زمینهٔ مطالعاتی شان و در حالت عمومی تر کل ریاضی را همراه با لذت و زیبایی می‌دانند برای همین برای توصیف ریاضیات (یا حداقل برخی بخش‌های آن) از صفت زیبا استفاده می‌کنند. برخی ریاضی را به هنر تشبیه می‌کنند و بعضی دیگر آن را یک فعالیت خلاقانه می‌دانند. اما در بیشتر موارد ریاضی را با شعر و موسیقی مقایسه می‌کنند. برتراند راسل احساس خود پیرامون زیبایی ریاضی را چنین بیان کرد:[۱]

« ریاضیات، در جایگاه واقعی خود نه تنها حقیقت را حکایت می‌کند بلکه در منتها الیه زیبایی است - یک زیبایی سرد و تلخ مانند آنچه که در یک تندیس می‌بینیم بدون هیچگونه نشانه‌ای از طبیعت ضعف تر ما، بدون زیبایی‌های فریبندهٔ نقاشی و موسیقی و همچنان در انتهای خلوص و توانایی در نمایش کمال، چیزی که تنها بالاترین هنر قادر به نمایش آن است. ذات حقیقی سرخوشی و غزوز. احساس شکستن محدودیت‌های یک انسان معمولی و بالاتر رفتن، و این چیزی است که نشانهٔ اوج برتری است و تنها در ریاضی و شعر می‌توان آن را جستجو کرد.  »

پل اردوش احساسش دربارهٔ غیرقابل وصف بودن ریاضیات را چنین بیان کرد: «چرا اعداد زیبا هستند؟ این مانند این می‌ماند که بپرسیم چرا سمفونی ۹ بتهوون زیبا است. اگر واقعا این زیبایی را نمی‌بینید پس چطور انتظار دارید کسی بتواند آن را برای شما تعریف کند. من می دانم که اعداد زیبایند. اگر آن‌ها زیبا نباشند پس هیچ چیز زیبا نیست.»[۲]

محتویات

[نهفتن]

[ویرایش] زیبایی در روش

ریاضی‌دانان برای وصف یک روش خوب و زیرکانهٔ اثبات از عبارت ظریف (به انگلیسی: elegant) استفاده می‌کنند. بسته به زمینهٔ مورد بحث این عبارت معانی مختلف خواهد داشت:

  • یک روش اثبات که تا جایی که ممکن است از کمترین فرض‌های اضافی یا نتایج قضیه‌های قبلی استفاده می‌کند.
  • یک روش اثبات که برخلاف دیگر روش‌ها بسیار کوتاه است.
  • یک روش اثبات که به گونهٔ شگفت آوری به نتیجه می‌رسد (برای نمونه نظریه‌هایی را به کار می‌برد که در ظاهر هیچ ارتباطی با موضوع ندارند.)
  • یک روش اثبات که برپایهٔ بینشی نو و بکر استوار است.
  • یک روش اثبات که می‌توان به آسانی از آن حالت کلی تر را نتیجه گرفت و برای حل مجموعه‌ای از مسئله‌های مشابه آن را به کار برد.

ریاضی‌دانان معمولا در جستجوی راه حل‌های ظریف و زیرکانه‌اند برای همین برای اثبات یک مطلب همیشه راه‌های گوناگون و مستقل را امتحان می‌کنند - اولین راه حلی که به دست می‌آید معمولا بهترین آن نیست. برای نمونه قضیهٔ فیثاغورس قضیه‌ای است که نسبت به دیگر قضیه‌ها، بیشترین تعداد اثبات برای آن معرفی شده‌است و صدها مورد از آن‌ها منتشر شده‌است.[۳] قضیهٔ دیگری که اثبات‌های زیادی برای آن معرفی شده‌است، قضیهٔ روابط متقابل درجه دوم است کارل فریدریش گاوس به تنهایی هشت اثبات مختلف برای آن ارائه کرده‌است.

درمقابل نتایجی که از دید منطق درست به نظر می‌آیند ولی درگیر رابطه‌های ریاضی پرزحمت اند یا روش‌های با جزئیات سنگین در آن‌ها وجود دارد، یا رویکردهای خیلی معمولی یا رویکردهایی که برپایهٔ تعداد زیادی از اصل‌ها یا نتایج قضایای قبلی بنا شده‌اند، هیچ یک از این روش‌های اثبات ظریف و زیرکانه به شمار نمی‌روند و احتمالا بر آن‌ها نام زشت (به انگلیسی: ugly) یا زُمخت (به انگلیسی: clumsy) گذاشته می‌شود.

[ویرایش] زیبایی در نتایج

Starting at e0 = 1, travelling at the velocity i relative to one's position for the length of time π, and adding 1, one arrives at 0. (The diagram is an Argand diagram)

برخی ریاضی‌دانان (Rota سال ۱۹۷۷، ص ۱۷۳) بر این باورند که نتیجه‌هایی در ریاضی را می‌توان زیبا خواند که دو حوزهٔ متفاوت و به ظاهر کاملا بی ارتباط در ریاضی را به هم مربوط می‌کنند. این نتیجه‌ها اغلب با عنوان عمیق (به انگلیسی: deep) توصیف می‌شوند.

اغلب بسیار مشکل می‌توان همه جهان ریاضی را دربارهٔ عمیق بودن یک نتیجه هم نظر یافت. در ادامه چند نمونه از این نتیجه‌ها آورده شده‌است. نخستین مورد تساوی اویلر است:

\displaystyle e^{i \pi} + 1 = 0\,.

فیزیکدان بزرگ ریچارد فاینمن این نتیجه را برجسته‌ترین رابطهٔ ریاضی (the most remarkable formula in mathematics) نامید.

نمونه‌های معاصر از این گونه نتیجه‌ها، عبارتند از modularity theorem که میان خم‌های بیضی-گون و فزم‌های modular رابطهٔ مهمی برقرار می‌کند (تلاش در این زمینه باعث شد تا اندرو وایلز و رابرت لانگلندز به جایزهٔ ولف دستیاب اند.) و monstrous moonshine که میان Monster group و modular functions بوسیلهٔ نظریهٔ ریسمان رابطه برقرار کرد. ریچارد بورچردز برای این کار جایزهٔ فیلدز را دریافت کرد.

درمقابل عمیق (deep) می‌توان از صفت بدیهی (trivial) استفاده کرد. یک قضیهٔ بدیهی را می‌توان به آسانی و در نگاه نخست از نتایج قضیه‌های قبلی بدست آورد. یا قضیه‌ای است که تنها در بعضی حالات خاص درست است. گاهی ممکن است یک عبارت از یک قضیه به اندازهٔ کافی بکر باشد که بتوانیم آن را عمیق در نظر بگیریم اما اثباتی که برای آن پیدا می‌شود کاملا آشکار است.

گادفری هارولد هاردی در کتاب عذرخواهی یک ریاضی‌دان (A Mathematician's Apology) پیشنهاد می‌دهد که یک نتیجخ یا اثبات زیبا، دارای سه ویژگی «گریزناپذیری» (inevitability)، «غیرمنتظره بودن» (unexpectedness) و «کوتاه بودن» (economy) است.[۴]

اما روتا، با شرط غیرمنتظره بودن به عنوان یکی از نشانه‌های زیبایی موافق نیست و برای آن یک نمونه می‌آورد:[۵]

« بسیاری از قضیه‌های ریاضی هنگامی که برای اولین بار معرفی شدند به نظر غیرمنتظره و شگفت‌انگیز می‌آمدند: بنابراین برای نمونه بیست - سی سال پیش (از سال ۱۹۷۷) اثبات وجود ساختار نامساوی‌های دیفرانسیلی در کره‌های با ابعاد بالا به نظر شگفت‌انگیز می‌آمد اما هرگز هیچ کس، آن را یک حقیقت زیبا نخواند.  »

موناستریسکی (Monastyrsky) می‌نویسد:[۶]

« بسیار سخت است تا ابتکاری مانند آنچه میلنور انجام داد پیدا کنیم. بنای زیبا از ساختارهای دیفرانسیلی متفاوت بر روی یک کرهٔ هفت بعدی. برهان ابتدایی میلنور خیلی ویژه به نظر نمی‌آمد ولی بعدها بریسکورن (E. Briscorn) نشان داد که این ساختارهای دیفرانسیلی را می‌توان به شیوه‌ای بسیار زیبا توصیف کرد.  »

این اختلاف‌ها نظرها نشان می‌دهد که زیبایی در طبیعت ریاضی یک مفهوم انتزاعی است و اینکه این زیبایی با نتایج ریاضیاتی در ارتباط است: که در این مورد نه تنها کره‌های عجیب و غیرمعمول دیده می‌شود بلکه نتیجه‌گیری‌های ویژه‌ای هم از آن‌ها بدست می‌آید.

[ویرایش] زیبایی در تجربه

«سردی و سختی» ویژه‌ای در ترکیب این پنج مکعب دیده می‌شود.
مفروش سازی بی‌انتها، ساختهٔ موریس اِشر.
چندوجهی و ساختار ناشدنی در «آبشارِ» موریس اِشر

لازم است تا کمی لذت بازی با اعداد و نمادها در بخش‌های مختلف ریاضی وارد شود. کاربرد ریاضی در علم و مهندسی چنان است که گویی هرجایی که از فن-آوری استفاده شده، انگار به صورت خودجوش به ترویج زیبایی ریاضی نیز پرداخته شده‌است. که اگر هیچ جایی چنین نباشد در بحث فلسفهٔ علم یقینا چنین است.

بالاترین تجربهٔ زیبایی ریاضی برای بیشتر ریاضی‌دانان هنگامی است که به صورت فعال در ریاضیات درگیر اند. هرگاه رویکردی منفعل به ریاضی داشته باشیم، لذت و جذابیت آن را از دست می‌دهیم و یا به دشواری آن را حس خواهیم کرد. - در ریاضیات هیچجایگاهی برای بیننده یا تماشاچی یا شنوندهٔ صرف بودن نیست. اشاره به سختی زیبایی ریاضی، برتراند راسل.

[ویرایش] زیبایی و فلسفه

برخی ریاضی‌دانان بر این باورند که کار با ریاضی بیشتر به کشف کردن شبیه‌است تا ایجاد کردن. برای نمونه، ویلیام کینگدان کلیفورد در سخنرانیی با موضوع «بعضی شرط‌های پیشرفت ذهن» (Some of the conditions of mental development) که در موسسهٔ سلطنتی برگزار شد چنین گفت:

« هیچ کاشف علمی، شاعر، نقاش، موسیقی‌دانان و کلا هر کسی که چیزی را آماده شده جلوی خود می‌یابد، اعم از یک کشف، شعر یا نقاشی، چنین کسی وجود ندارد - که بتواند چیزی را آگاهانه و تنها برگرفته از درون خود ایجاد کرده باشد بلکه هرچه هست همگی برگرفته از دنیای بیرون است.  »

 

   + مهدی - ۱٠:۳۳ ‎ق.ظ ; ۱۳٩٠/٧/٩