دیورژانس ۱

لینک مربوطه: دیورژانس ۱

منابع:

Arfken, G. "Divergence, del ·." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.


دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

 delta^'(-x)=-delta^'(x)  

 int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)           

 (delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)           

که در آن * علامت کانولوشن (convolution) است،

 int_(-infty)^infty|delta^'(x)|dx=infty,     

و

 x^2delta^'(x)=0.                  

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از delta(1/x) نوشته می شود نیز وجود دارد:

 int_(-1)^1delta(1/x)dx=0.           

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

 

 intf(x)delta(x-x_0)dx=f(x_0)

         

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای delta(x-a) بدست می دهد

1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)cos(nx)dx   =   a_n              

1/picos(na)   =                    

1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)sin(nx)dx   =   b_n              

1/pisin(na),   =                    

بنابراین

1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)[cos(na)cos(nx)+sin(na)sin(nx)]    =   delta(x-a)        

1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)cos[n(x-a)].    =                       

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

 delta(x)=F_k[1](x)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)dk.              

و به طور یکسان،

 F_x^(-1)[delta(x)](k)=int_(-infty)^inftydelta(x)e^(2piikx)dx=1              

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

 F_x[delta(x-x_0)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)delta(x-x_0)dx=e^(-2piikx_0).         

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها  epsilon->0 هم گاهاْ تعریف می شود

1/pilim_(epsilon->0)epsilon/(x^2+epsilon^2),   ==   delta(x)        

lim_(epsilon->0)1/2epsilon|x|^(epsilon-1)      =                 

lim_(epsilon->0^+)1/(2sqrt(piepsilon))e^(-x^2/(4epsilon))     =                 

lim_(epsilon->0)1/(pix)sin(x/epsilon)  =  =                 

lim_(epsilon->0)1/epsilonAi(x/epsilon) =   =                 

lim_(epsilon->0)1/epsilonJ_(1/epsilon)((x+1)/epsilon)   = =                 

lim_(epsilon->0)|1/epsilone^(-x^2/epsilon)L_n((2x)/epsilon)|,     =                 

که  Ai(x) تابع هوایی (Airy function)،  J_n(x) تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و   L_n(x) یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

DeltaFunctionN  

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

 delta(x)=lim_(n->infty)1/(2pi)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x)).                  

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

 delta^2(x,y)={0   x^2+y^2!=0; infty   x^2+y^2=0,           

 int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^2(x,y)dxdy=1          

 delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),          

و

 delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),         

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

 delta^2(x,y)=(delta(r))/(pi|r|)             

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

 delta^3(x,y,z)=delta^3(x)={0   x^2+y^2+z^2!=0; infty   x^2+y^2+z^2=0              

 int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^3(x,y,z)dxdydz=1            

و

 delta^3(x,y,z)=delta(x)delta(y)delta(z).            

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) (r,theta,z)،

 delta^3(r,theta,z)=(delta(r)delta(z))/(pir).             

در مختصات کروی (spherical coordinates) (r,theta,z)،

 delta^3(r,theta,phi)=(delta(r))/(2pir^2)            

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

1/(r_1)delta(r_1-r_2)delta(theta_1-theta_2)delta(z_1-z_2)   =   delta^3(r_1-r_2)            

1/(r_1)delta(r_1-r_2)1/(2pi)sum_(m=-infty)^(infty)e^(im(theta_1-theta_2))1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(ik(z_1-z_2))dk.   =                              

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات delta(x) نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

 x(1-x)y^('')+(4-6x)y^'-6y=0              

دارای پاسخ کلاسیکی

 y(x)=(C_1)/(x^3)+(x^2-x-1+2(x-2)ln(x-1))/(x^3(x-1))C_2,              

و پاسخ توزیعی زیر است

 y(x)=C_1delta^('')(x)

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی nام احتیاجی به داشتن n ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد.

لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function delta(x-a)." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

   + مهدی - ۱:٤۱ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/۸/۱٠

 

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی rho در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:

 del ·(rhou)=-(partialrho)/(partialt),                  

که  u میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد

 del ·u=0,                 

که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 

دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد

rho/(epsilon_0)   =   del ·E            

0,   =   del ·B            

که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم: E میدان الکتریکی، rho اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی، epsilon_0 ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت B معرف میدان مغناطیسی است.

بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.

فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن  F=(F_x,F_y,F_z) بلافاصله بدست می آید:

 del ·F=(partialF_x)/(partialx)+(partialF_y)/(partialy)+(partialF_z)/(partialz).              

این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد del · برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از del   به عنوان عملگر گرادیان (gradient) del =(partial/partialx,partial/partialy,partial/partialz)، "حاصلضرب نقطه ای" (dot product) این عملگر با میدان برداری اصلی F=(F_x,F_y,F_z) دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.

درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف

 F=F_1u_1^^+F_2u_2^^+F_3u_3^^,                 

دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (curvilinear coordinates) به صورت زیر داده می شود:

 del ·F=1/(h_1h_2h_3)[partial/(partialu_1)(h_2h_3F_1)+partial/(partialu_2)(h_3h_1F_2)+partial/(partialu_3)(h_1h_2F_3)].             

دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (unit vector) که با ماتریس A نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:

  del ·(Ax)/(|x|)=(Tr(A))/(|x|)-(x^(T)(Ax))/(|x|^3),        

که  Tr(A) رد ماتریس (matrix trace) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و x^(T) ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.

مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (covariant derivative) میدان تانسوری است:

 del ·A=A_(;alpha)^alpha.

   + مهدی - ۱:۳٦ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/۸/۱٠