اندازه وزن بدن بر حسب کیلوگرم تقسیم بر توان دوم اندازه قد بر حسب متر برابر می‌شود با شاخص وزن بدن . 
  پاسخ به دست آمده اگر بین بیست تا بیست و پنج باشد طبیعی ، ۲۵ تا ۳۵ بیشتر از حد طبیعی و ۳۰ تا ۴۰ چاقی و بیش از چهل بسیار فربه می‌باشد . 
 به این مثال توجه کنید ، در نظر بگیرید که شخصی قدش ۱۷۸ سانتی متر و وزنش هفتاد و شش کیلوگرم می‌باشد . اگر بخواهیم وزن او را ارزیابی بکنیم که آیا چاق هست و یا طبیعی ، به این صورت عمل می کنیم  . وزن او را که ۷۶ کیلوگرم هست به ، توان دوم قدش که ــ برحسب متر ــ می‌شود ۱۶۸۴/۳ ، تقسیم کرده و جواب را بدست می‌آوریم . جواب تقریبا می‌شود ۲۴ و طبق توضیح بالا چون این جواب بین ۲۰ تا ۲۵ هست ، وزن این فرد طبیعی می‌باشد

   + مهدی - ۱۱:٢۳ ‎ق.ظ ; ۱۳٩۱/۱/٢٠

عکسهای نفس گیر از حیوانات در نمای نزدیک

عکسهای نفس گیر از حیوانات در نمای نزدیک

 

 

 

1) Gannet Dive by mvbalkom

 

2) Eye to Eye by Andreas Saladin

 

3) Gotcha! by henkheus

 

4) The flying fortes by mvbalkom

 

5) Parotsnake by kuntha

 

6) Common Kingfisher vs House Sparrow by nissim

 

7) Closeup by Marta Grzesiak

 

8 ) Dandelion by Boris Godfroid

 

9) The hunt by Ivan Bui

 

10) Power by Natalie Manuel

 

11) seagull by sammy

 

12) Conversation by Marcin Nawrocki

 

13) The Living Knot by jbfotodesign

 

14) Breakfast by arachiusz

 

15) you can dance by Marcin Nawrocki

 

 

 

18) Got it! by Marko Marinkovic

 

 

 

22) Common Kestrel by yaki zander

 

23) Sea Eagle in sunset by Tommy Solberg

 

24) Tiger by José Luis Mieza

 

25) Fierce by jimmy hoffman

 

26) Lunch … by nissim

 

27) Remain wild… by CathS

 

28) Poised by Marcus Lim

 

29) Diving Tiger – NGC

 

30) Thats mine by Francois Loubser

 

31) White-tailed Sea eagle by Stian Holmen

 

32) Aliens by AimishBoy

 

33) Splash by David Orias

 

34) Uroplatus fimbriatus by Thor Hakonsen

 

35) Hyla arborea by Victor Minghir

 

36) angry… by akterf

 

37) Fightclub by Jörg Hubrich

 

38) Norwegian Sea Eagle by Tommy Solberg

 

39) Give me a kiss! by Daniel Hasselberg

 

40) aggressive by akterf

 

41) Asleep by Alain Turgeon

 

42) Peekaboo – The best one so far

 

 

 

   + مهدی - ۱٠:٥٤ ‎ق.ظ ; ۱۳٩٠/٩/٢٧

ابوریحان بیرونی

 بوریحان محمد بن احمد بیرونی
تولد : 12 ذالحجهُ 362 هجری کاث ، خوارزم ( شهر کارا ـ کلپاکسکایا کنونی وا قع در ا زبکستان )
وفا ت : 4 رجب 440 هجری غزنه ( غزنه کنونی در ا فغا نستان )


ابو ریحان بیرونی در خوارزم ،منطقه ای که در مجاورت دریا ی آرال قرار دارد و امروزه همه آن را به نام کارا کلپاکسکایا می شناسند ، به دنیا آمد . کاث و جورجانیه دو شهر بزرگ این منطقه به شمار می رفتند . بیرونی در نزدیکی کاث به دنیا آمد و نام شهری که در آن متولد شد را به افتخار او ، بیرونی نام نهادند .او در هر دو شهر کاث و جورجانیه زندگی کرد و پرورش یافت ومطالعه و تحصیل علم را درحالی که خیلی جوان بود تحت نظر ریاضی دان و ستاره شناس مشهوری به نام ابو نصر منصور آغاز نمود .بی تردید بیرونی از سن 17 سالگی به انجام فعالیتهای علمی مهم و ویژه ای پرداخت .وی در سال 379 با مشاهده بیشترین ارتفاع خورشید ،عرض جغرافیایی شهر کاث را محاسبه کرد .
فعالیتهای دیگری که بیرونی به عنوان یک مرد جوان و کم تجربه انجام داد ،بیشتر نظری بود .قبل از سال 384 ( وقتی که22ساله بود) چندین اثرکوتاه ازخود برجای گذاشت .یکی ازآثارموجوداوتحت عنوان" نقشه کشی"( Cartography ) اثری است که در آن به بررسی نقشه های جغرافیایی پرداخته است .در این اثر , او علاوه بر این که نقشه نیم کره را روی صفحه سطح ترسیم کرده است ،نشان داده که تا سن 22 سالگی بسیار مطالعه داشته ,چرا که او مجموعه کاملی از نقشه هایی که دیگران رسم کرده اند را مورد مطالعه و بررسی قرار داده و موارد مربوط به آنها را دراین رساله مورد بحث قرار داده است . زندگی نسبتا ْ آرام بیرونی تا این مرحله ، پایان غیرمنتظره ای به همراه داشت .
در اواخر قرن چهاردهم و اوایل قرن پنجم در عالم اسلام شورش عظیمی بر پا شد و در منطقه ای که بیرونی در آن زندگی می کرد ،جنگ های داخلی در حال وقوع بود .در این زمان خوارزم بخشی از فرمانروایی سامانیان و بخارا مرکز آن به شمار می رفت .حکومت زیار با پایتختش در گرگان در کنار دریای خزر از دیگر حکومت های این منطقه بود .از طرف غرب ،خاندان آل بویه بر سراسر ناحیه بین دریای خزر و خلیج فارس و همچنین بین ا لنهرین حکومت می کرد .سلسله پادشاهی دیگری که به سرعت طلوع کرد ، سلسله غزنویان بود که پایتختشان را شهر غزنه در افغانستان اختیار کردند .این حکومت نقش مهمی را در زندگی بیرونی ایفا کرد .
بنو عراق از جمله فرمانروایان منطقه خوارزم بود و ابو نصر منصور ـ استاد بیرونی ـ یکی از امیران آن خاندان به شمار می رفت . در سال 384 حکومت بنو عراق با یک قیام سرنگون شد . بیرونی به هنگام شروع جنگ داخلی از آن منطقه گریخت اما اینکه برای ستاد بیرونی ـ ابو نصر منصور ـ چه اتفاقی افتاد ، معلوم نیست . بعد ها ، بیرونی در مورد این وقایع نوشت :
بعد از اینکه چند سال در آن منطقه به سختی زندگی کردم ،با اجازه حاکم وقت به زادگاه خودبازگشتم اما مرا وادار به انجام امور مادی و دنیوی کردند که موجب حسادت ورزیدن ابلهان گردید اما خردمندان از این امر متاسف شدند .
دقیقا معلوم نیست که بیرونی به هنگام گریختن از خوارزم به کجا رفت . او باید به شهر ری رفته باشد و بدون تردید مدتی را در شهر ری زندگی کرده است . بر اساس نوشته هایش ،او هیچ پشتیبانی نداشت و با فقر و تنگدستی در شهر ری زندگی می کرد . خجندی ستاره شناسی بود که با دستگاه بسیار بزرگی کار می کرد او خودش این دستگاه را ساخته و آن را روی کوهی بالا تر از شهر ری قرار داده بود تا بدینوسیله عبور نصف النهاری خورشید را نزدیک انقلابین مشاهده کند . او در روزهای4 و 5 جمادی الاول سال 384 انقلاب تابستانی را مشاهده کرد و در روزهای 8 و 9 ذیقعده سال 384 شاهد انقلاب زمستانی بود و بدین ترتیب او توانست مایل بودن دایرهْ البروج و همچنین عرض جغرافیایی شهر ری را محاسبه کند اما هیچ یک از این دو محاسبه دقیق نبود .
خجندی در مورد مشاهداتش و همچنین دستگاه ذات السُدس ( sextantدستگاه سنجش ارتفاع خورشید و ستارگان ) با بیرونی به بحث و بررسی می پرداخته . پس از آن بیرونی در مورد مشاهدات خجندی در کتاب " تحدید النهایات الاماکن " Tahdid)) خود گزارشی نوشت و ادعا کرد که در طول مشاهدات خجندی ، دیافراگم دستگاه ذات السُدس بدلیل وزن دستگاه 9 اینچ تنظیم شده است . بیرونی تقریبا علت خطاهای خجندی را دقیق و درست تشخیص می داد . از آنجایی که خجندی در سال 389 از دنیا رفت می توان به این نتیجه رسید که بیرونی سالهای بین 384 تا 386 را در شهر ری سپری کرده است .او همچنین باید مدتی از این زمان را در گیلان که دریای خزر آن را از شمال احاطه کرده است ، زندگی کرده باشد چرا که حدودا در همین زمان کتابی را به حاکم گیلان , ابن رستم تقدیم کرده . ابن رستم با حکومت زیار در ارتباط بود .
تاریخهای معینی را در زندگی بیرونی با اطمینان می دانیم چرا که او در آثارش وقایع نجومی را شرح داده است و بدین ترتیب این امکان را به ما می دهد تا زمانها و مکانهای دقیق را تعیین کنیم .شرح و توصیف او از ماه گرفتگی روز 13 جمادی الاول سال 387 که او در کاث شاهد آن بوده است نشان می دهد که او تا آن زمان به کشور خود باز گشته بوده است . این ماه گرفتگی در بغداد نیز قابل رویت بود و بیرونی ترتیبی داد که به همراه ابووفا بوزجانی در بغداد شاهد این رویداد گردند . مقایسه زمانها آنها را قادر کرد تا تفاوت طول جغرافیایی بین دو شهر را محاسبه کنند . بر این امر نیز واقفیم که در طول این مدت بیرونی بسیار زیاد نقل مکان می کرده است چرا که تا سال 389 او در گرگان بوده و قابوس ـ حاکم حکومت زیار ـ از او حمایت می کرد . او تقریبا در سال 389 کتاب " آثارالباقیهِ "(Chronology) خود را به قابوس تقدیم کرد و در روزهای 13 ربیع الثانی سال 393 و همچنین 12 شوال سال 393 به هنگام ماه گرفتگی در گرگان بوده . شایان ذکر است که بیرونی در کتاب " آثارالباقیهِ " خود به هفت اثر قبلی اش اشاره کرده است : یک کتاب در مورد دستگاه اعشاری ،کتابی در مورد اسطرلاب ،یک کتاب در مورد مشاهدات نجومی ،سه کتاب در مورد اخترگویی و نهایتا دو کتاب در مورد تاریخ .
تا 12 شعبان سال 394 بیرونی به وطن خود باز گشته , چرا که در آن روز شاهد ماه گرفتگی دیگری در جورجانیه بوده .علی بن مامون فرمانروای خوارزم به شمار می رفت و تا زمانی بر این مقام بود که برادرش ابوعباس مامون به عنوان حاکم ،جانشین وی شد .این دو برادر با دو خواهر محمود که فرمانروای حکومت قدرتمند غزنه بود ، ازدواج کردند . بدین ترتیب ،عاقبت سلسله پادشاهی ابو عباس مامون تحت کنترل فرمانروایان حکومت غزنه قرار گرفت .
علی بن مامون و ابو عباس مامون هر دو حامی علم بودند و از تعدادی از دانشمندان عالی رتبه و نخبه در دستگاه حکومتی خود حمایت می کردند . ابو عباس مامون تا سال 394 فرمانروایی می کرد و از آثار علمی بیرونی بسیار حمایت می نمود . نه تنها بیرونی ،بلکه ابو نصر منصور ـ استاد سابق بیرونی ـ نیز در این دستگاه حکومتی کار می کرد . بدین ترتیب به هر دو این امکان داده شد تا دوباره با یکدیگر همکاری کنند . بیرونی توانست با حمایت ابو عباس مامون در جورجانیه دستگاهی بسازد که بوسیله آن عبور نصف النهاری خورشیدی را مشاهده کند . او از 28 ذالحجه سال 406 تا 4 رجب سال 407 با این دستگاه 15 مشاهده به انجام رساند .
جنگهای آن منطقه در فعالیتهای علمی بیرونی و ابو نصر منصور وقفه ایجاد کرد و باعث شد عاقبت آن دو خوارزم را تقریبا در سال 407 ترک کنند . محمود نفوذ خود را درغزنه بیشتر می کرد و در سال 404 از ابو عباس مامون خواست تا خطبه نماز جمعه را به نام او بخوانند .این خواسته او نشان می داد که خواستار پایان بخشیدن به حکومت مامون است و تلاش می کرد تا کنترل آن منطقه را بدست آورد . بعد از اینکه مامون تقریبا با درخواست محمود موافقت کرد ، توسط سپاه خود به قتل رسید چرا که آنها این عمل او را خیانت تلقی کردند . پس از آن ، محمود سپاه خود را به آن منطقه برد و در روز 5 صفر سال 408کنترل کاث را بدست گرفت . به این ترتیب ، بیرونی و ابو نصر منصور به عنوان اسیرهای محمود فاتح وظایف را به وی واگذار کردند .
نوشته های بیرونی مدرکی است که نشان می دهد او یک دوره غیر عادی و عجیبی را در زندگی پشت سر گذاشته و درد و رنج زیادی را متحمل شده است . اما ظاهراً محمود نیز بخاطر برخی از فعالیتهای علمی اش از او حمایت کرده است . گزارشات مربوط به ظلم کردن محمود به بیرونی علی رغم حمایتی که بیرونی از طرف وی دریافت می کرد ، مستند می باشد . از شرح و توصیف وقایع نجومی که بیرونی به ثبت رسانده است می توان برخی از زمانها و مکانها را در این دوره تعیین کرد . در روز 30 جمادی الاول سال 409 او در کابل بوده و علی رغم نداشتن هیچ ابزاری برای مشاهداتش ، قادر بود باز هم مشاهداتی به انجام برساند به این ترتیب که او با ابزاری که در اختیار داشت ، خلاقیت به خرج داد و دستگاهی ساخت که به وسیله آن بتواند مشاهدات خود را دنبال نماید . در روز 29 ذیقعده سال 409 او در لامقان که در شمال کابل واقع شده است ، شاهد یک خورشید گرفتگی بود . وی اینگونه نوشته است :
به هنگام طلوع خورشید دیدیم که تقریبا بر یک سوم خورشید سایه انداخته شد تا اینکه خورشیدگرفتگی کامل شد .
در طول سالهای 408 تا 410 در حالی که بیرونی تحت حمایت محمود به سر می برد ،در شهر غزنه مشاهداتی به انجام رسانید و بدین ترتیب توانست به طور دقیق عرض جغرافیایی آنجا را تعیین کند . در روز 14 جمادی الاول سال 410 بیرونی در شهر غزنه شاهد یک ماه گرفتگی بود .
ارتباط مابین بیرونی و محمود نیز جالب است . احتمالا بیرونی بنا به ضرورت در دست محمود اسیر به شمار می رفت و برای ترک آن منطقه نیز اختیاری از خود نداشت . با این وجود ،رفتن نظامیان محمود به هند نشان می دهد که بیرونی را به آن کشور بردند . شواهد کمی وجود دارد که نشان می دهد بیرونی در هند بهره بیشتری می برده است . بیرونی آرزو می کرد محمود رفتار بهتری با او داشته باشد اما بدون شک فعالیتهای علمی بیرونی مفید واقع می شد . حدودا از سال 412 سپاه محمود موفق شد کنترل بخشهای شمالی کشور هند را بدست آورد و در سال 416 سپاه او به اقیانوس هند راه پیدا کرد . بیرونی ظاهرا در بخشهای شمالی هند به سر برده است . تعداد بازدیدهای او معلوم نیست اما مشاهداتش او را قادر ساخت تا عرض جغرافیایی یازده شهر در اطراف پنجاب و شهرهای هم مرز با کشمیر را تعیین کند . او معروف ترین اثرش را تحت عنوان " ماللهند "(India) زمانی ارایه داد که در ان کشور به سر می برد . او این کتاب را در نتیجه مطالعات کامل خود نوشت .
" ماللهند " (India) کتاب حجیم و برجسته ای است که بسیاری از ابعاد مختلف این کشور را در بر می گیرد . بیرونی در این کتاب به شرح و توصیف دین و فلسفه هند ، نظام طبقاتی ( طبقه اجتماعی موروثی در هند ) و آداب و رسوم ازدواج در هند پرداخته است . او همچنین قبل از اینکه وضعیت جغرافیایی این کشور را مورد بررسی قرار دهد ، دستگاههای نگارش و اعداد هندی ها را مطالعه کرد . علاوه بر این ، بیرونی در این کتاب به ستاره شناسی ، اخترگویی و سالنامه هندی ها اشاره کرده و مواردی را پیرامون این سه موضوع مورد بررسی و تحقیق قرار داده است .
بیرونی ادبیات هند را به زبان اصلی مطالعه نمود و چندین متن را از زبان سنسکریت به زبان عربی ترجمه کرد . او همچنین چندین رساله در مورد ابعاد ویژه ستاره شناسی و ریاضیات هند نوشت که برای خودش اهمیت خاصی داشت . او فوق العاده اهل مطالعه بود و در موضوعات : اختر گویی ،ستاره شناسی ،تاریخ شناسی ،جغرافیا ،دستور زبان ،ریاضیات ،پزشکی ،فلسفه ،دین و مذهب ،اوزان و مقیاسات ,از ادبیات سنسکریت احاطه داشت .
محمود در سال 420 از دنیا رفت و مسعود ـ پسر بزرگش ـ جانشین او شد . اما این جانشینی زمانی صورت گرفت که قبل از آن وضعیت سیاسی حادی به وجود آمده بود که دو پسر محمود سعی می کردند تا از پدرشان به عنوان فرمانروا تبعیت کنند . ظاهرا بیرونی مطمئن نبود چه کسی جانشین خواهد شد چرا که او تصمیم گرفته بود کتاب خود را تحت عنوان " ماللهند " (India)که در آن زمان به چاپ رسید ، به کسی تقدیم کند . بهتر بود کتاب را به کسی تقدیم نکند تا اینکه شخصی را به اشتباه بر گزیند . مسعود نشان داد که به عنوان فرمانروا بیش از پدرش نسبت به بیرونی لطف دارد و با مهربانی با او رفتار می کند . گر چه بیرونی در زمان فرمانروایی محمود یک اسیر واقعی به شمار می رفت ، ظاهرا برای رفتن به هر جایی که می خواست ، کاملا آزاد بود .
تعداد کلی آثار بیرونی در طول زندگی اش تحسین برانگیز است . کندی نوشته است : بیرونی حدودا 146 اثر از خود بر جای گذاشته است که هر کدام مجموعا شامل 13000 صفحه می باشد (هر صفحه همانند صفحات چاپی کتابهای جدید است) . برخی از اثار بیرونی را قبلا ذکر کردیم اما آثار وی در حقیقت تمام علم زمانه اش را در بر می گیرد . کندی نوشته است :
بیرونی به مطالعه پدیده های قابل مشاهده در طبیعت و همچنین در وجود انسان گرایش بسیاری داشت . در بین علوم مختلف ، علاقمند به آنالیز ریاضی بود و در این زمینه استعداد زیادی داشت .
پیشتر به مشاهدات نجومی بیرونی بسیار اشاره کردیم . بیرونی در مقایسه با بطلمیوس در مورد خطاها نظر مساعدتری داشت . نویسنده می نویسد : بطلمیوس بر این عقیده بود که از میان مشاهداتش ،معتبرترین را بر گزیند ( یعنی مشاهداتی را انتخاب کند که با نظریاتش هماهنگ است ) و به خوانندگان آثارش در مورد کنار گذاشتن و نادیده گرفتن آندسته از مشاهداتش که انتخاب نشدند ، چیزی نگوید . از طرف دیگر ، بیرونی خطاهای مشاهداتش را از نظر علمی بیشتر مورد بررسی قرار می داد وهنگامیکه برخی از آنها را به عنوان مشاهداتی که دقیق تر بودند ،انتخاب می کرد ،دیگر مشاهداتی را که دارای خطا بودند و کنار گذاشته می شدند را نیز ارایه می داد .او همچنین نسبت به خطاهای محاسباتش حساسیت نشان می داد و همیشه سعی می کرد تا کمیتهایی را مشاهده کند که برای رسیدن به جواب به کمترین دستکاری نیاز دارد .
" سایه ها "(Shadows) یکی از مهمترین آثار بیرونی است که حدودا در سال 411 نوشته شده است . روزنفلد به طور مفصل در مورد این اثر بیرونی نوشته است. محتوای این اثر بیرونی شامل موارد زیر است : اصطلاحات عربی سایه ها و تصویرها ، پدیده های جدید و غیر عادی از جمله تصویرها ، gnomonics ،تاریخچه تانژانت و تابع های متقاطع .
این کتاب به شرح مقاله هایی که بیرونی در زمینه ریاضیات نوشته است ، می پردازد . این مقاله ها شامل موارد زیر می باشد : حساب نظری و عملی ،برآیند دسته ها ،آنالیز ترکیبی ،قانون 3 ،اعداد گنگ ،نظریه خارج قسمت ،تعاریف مفاهیم جبری ،شیوه های حل معادله های جبری و مسایلی که تنها با خط کش و پرگار حل نمی شدند ،منحنی های مخروطی ،فضاسنجی ،تصویرگنجنگاری ،مثلثات ،قانون سینوس در صفحه ،حل مثلثات کروی.
بیرونی همچنین مقاله هایی در مورد زمین پیمایی و جغرافی ارایه داد . او شیوه های اندازه گیری زمین و فاصله های روی آن را از طریق مثلث بندی معرفی نمود .او شعاع زمین را 6339.6ارزیابی کرد که این اندازه تا قرن دهم در کشورهای غربی بدست آورده نشده بود .کتاب " قانون مسعودی"(Masudic canon) وی شامل جدولی است که مختصات ششصد مکان را ارایه می دهد واودرمورد همه این مکانها دانش کافی داشت . البته بیرونی همه آنها را خودش اندازه گیری نکرده است . برخی از آنها را از جدول مشابهی که خوارزمی عرضه کرده بود ،گرفته است .نویسنده اظهار می دارد که بیرونی ظاهرا در مورد ارقامی که خوارزمی و بطلمیوس ارایه کرده بودند ،به این نتیجه می رسد که ارقام ارایه شده توسط خوارزمی دقیق تر است .
بیرونی همچنین در مورد هماهنگی زمان رساله ای نوشته است . او چندین رساله نیز در مورد اسطرلاب نوشته و به شرح و توصیف تقویم ماشینی پرداخته است .او مشاهدات جالبی در مورد سرعت نور به انجام رساند و اظهار داشت که سرعت نور در مقایسه با سرعت صوت بسیار زیادتر است .او از کهکشان راه شیری به عنوان " مجموعه ای از اجزا بیشمار طبیعت ستارگان سحابی " یاد کرد .
هیدرواستاتیک موضوعی در علم فیزیک است که بیرونی مورد مطالعه قرار داد و از وزنهای ویژه ،اندازه های دقیقی ارایه داد و به شرح نسبتهای بین چگالی طلا ،جیوه ،سرب ،نقره ،برنز ،مس ،برنج ،آهن و قلع پرداخت . او نتایج را به عنوان ترکیبی از اعداد به صورت 1/n , n = 2 , 3 , 4 , ... 10 نشان داد .
دانشمندان دیگر بسیاری از نظریات بیرونی را در جلسات بحث و گفتگوهایشان مورد بررسی قرار دادند . ازمدتها پیش ،بیرونی با استادش ـ ابو نصر منصور ـ همکاری داشت ،هر کدام از آنها از دیگری می خواست تا بخش خاصی از کار را به عهده بگیرد تا بدین ترتیب کار خود را به تایید برساند .او به طرز ستیزه جویانه ای با ابو علی سینا در مورد ماهیت نور و گرما مکاتبه می کرد . 18 نامه از ابو علی سینا که در جواب سوالهایی که بیرونی مطرح کرده ، موجود می باشد . این نامه ها در بر گیرنده موضوعات زیر است : فلسفه ،ستاره شناسی و فیزیک . بیرونی با سجزی نیز از طریق نامه در ارتباط بود .همچنین نامه های نیز که بیرونی به سجزی نوشته است موجود می باشد .این نامه ها مدارکی را مبنی بر وجود نسخه های مسطح و کروی قانون سینوس در بر دارد .اظهارات بیرونی بر اساس نظریات استادش ـ ابو نصر منصور ـ بوده است .
نهایتا در مورد شخصیت این دانشمند برجسته باید کم سخن گفته شود .در مقایسه با آثار بسیاری از دانشمندان دیگر ،از نوشته ها و کتابهای بیرونی اطلاعات بسیار زیادی بدست آورده می شود . با وجود اینکه کمتر از یک پنجم آثار او باقی مانده است ، به تصویر واضحی از این دانشمند بزرگ دست می یابیم . او مبتکر بزرگ تئوریهای جدید ،ریاضیات و یا جز آن نبود .تنها مشاهده گر دقیقی بود که پیشرو روش تجربی به شمار می رفت . او زبان شناس بزرگی بود که رساله های موجود را می خواند و به وضوح شاهد پیشرفت علم به عنوان بخشی از حوادث بود .او همیشه مراقب بود این حوادث را در جای مناسب خود قرار دهد . مورخین علم به آثار و نوشته های او علاقه وافری داشتند .
علی رغم فعالیتهای زیادی که در زمینه اختر گویی انجام داد ، ظاهرا اختر گویی را به عنوان علم قبول نداشته است اما از آن به عنوان وسیله ای برای تایید آثار علمی اش استفاده می کرده است . او نسبت به فرقه های مذهبی مختلف یا نژادهای متفاوت تعصب خاصی نشان نمی داد اما همیشه در برابر اعمال مختلفی که آنها انجام می دادند ، حرفی برای گفتن داشت . به عنوان مثال ،عربهایی که موفق به فتح خوارزم شدند ، متون قدیمی را از بین بردند چه گناهی می تواند برای دانشمندی همچون بیرونی که زندگی را وقف علم و دانش و تاریخ می کند ، بدتر از آن باشد ـ بیرونی در دین مسیح مسئله عفو و بخشش را مورد توجه قرار داده است . او در کتاب " ماللهند "(India) نوشته است :
قسم می خورم که زندگی ام یک فلسفه مهم است اما همه مردمی که در این دنیا زندگی می کنند ، فیلسوف نیستند . . . و در حقیقت از وقتیکه کنستانتین فاتح ـ امپراطور روم ـ به دین مسیح روی آورد ،شمشیر و شلاق را به کار گرفتند .
بیرونی به آنهایی که فکر می کرد احمق هستند ، کنایه ای زد . این کنایه مبنی بر جوابی بود که او به مردی مذهبی داد که به وسیله ای که او ساخته بود ،ایراد گرفته بود . بر روی این وسیله ماههای بیزانسی حکاکی شده بود و زمان عبادت را نشان می داد . پاسخی که بیرونی به آن مرد داد ، در کتاب " سایه ها "(Shadows) اینگونه آورده شده است :
بیزانسی ها نیز غذا می خورند . پس شما غذا خوردن آنها را تقلید نکنید .

   + مهدی - ۱:۳۸ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/٩/۱٩

 

چرا باید ریاضیات بخوانیم؟ (ولادیمر ارنولد)



چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است:

(کسی این کار را نکند نمیتواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد...چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمیدانند به جهالت خودشان پی نمی برند ودر نتیجه در پی چاره جویی بر نمی آیند.))


می توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم اما ممکن است بعضیها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد....


شاهدی تازه تر می آورم پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نبایدبه هیچ شهود فیزیکی ای اعتماد کنید.پس به چه چیزی اعتماد کنید؟به گفته ی این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات _ولو اینکه در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد.


در حقیقت در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند.در اینجاستکه قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ مینمایاند.


بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است.اکنون می خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله ی آموزش ریاضی بررسی کنیم.

سه روش اموزش ریاضیات
در اموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام اموزشی اروپایی هستیم که بر اساس ((بورباکی ای سازی))ریاضیات بنا شده است (نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال 1939 به انتشار مجموعه ای از کتابها دست زده اندکه در انها شاخه های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی_یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه ی مجموعه ها_شرح داده شده است.)
اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می شود واین زیانی است که بورباکی ای سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است.نمونه ای شگرف مثال زیر است:
از دانش آموز سال_دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده اند ((دو بعلاوه ی سه چقدر میشود؟)) پاسخ چنین بود ((چون جمع تعویض پذیر است می شود سه بعلاوه ی دو.))
پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است اما دانش آموزان حتی به جمع کردن ساده ی این دو عدد هم فکر نکرده اند زیرا در تعلیم انها تکیه بر ویژگی های عملها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارساییهای این روش شده اند و بورباکی ای سازی را کنار گذاشته اند.
طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است.اساس این سبک این اصل است: آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است آموزش بدهید.در نتیجه کسی که فکر می کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت اصلآ لازم نیست ان را بخواند.ریاضیات درسی اختیاری در دوره ی راهنمایی و دبیرستان است_مثلآ یک سوم دانش آموزان دبیرستانی جبر نمی خوانند.نتیجه ی این امر را در مثال زیر روشن کرده ایم:
در آزمونی برای دانش آموزان چهارده ساله ی آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه اینکه حساب کنند بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم این عدد چه تغییری می کند.سه نوع پاسخ را می توانستند انتخاب کنند: زیاد میشود،تغییری نمیکند،کمتر میشود.تقریبآ 30 درصد دانش آموزان سوال شونده پاسخ درست را برگزیده بودند.یعنی اینکه پاسخها را تصادفی انتخاب کرده بودند.نتیجه: هیچ کس هیچ چیز نمی داند.دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی،کامپیوتری کردن آن است.
جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش تواناییهای فکری کمکی نمی کند.مثالی دیگر از یکی از آزمونهای آمریکا میاوریم:
کلاسی 26 دانش آموز دارد.این دانش آموزان می خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند.در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش آموزجا می شوند.چند نفر از اولیا را میتوانیم دعوت کنیم؟
جوابی که همه داده بودند 65 نفر بود جواب کامپیوتر :
است،ودانش آموزان می دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد،می توان بلایی سر ممیز آورد_مثلآ می توان اصلآ آن را برداشت.
نمونه ی دیگری از یکی از آزمونهای رسمی دانش آموزی در سال 1992 می آوریم:
رابطه ی کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه ی میان زاویه و درجه دارد:
الف) زمان وساعت
ب) شیر وکوارت ((واحد اندازه گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر))
ج) مساحت و اینچ مربع
پاسخ،مساحت و اینچ مربع است،زیرا درجه ی کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه گیری مساحت است،اما ساعت را می توان به دقیقه هم تقسیم کرد.
طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می اندیشیده است.می ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.( جو برمن،استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که( از نظر او که آمریکایی است) ،پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است.او گفت که ((اصل مطلب این است که من می توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم.))_) مایه ی شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد.
امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می شود.مطابق معمول ،باز هم عقبیم،حدود سی سال از اروپا عقبتریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا میرسد که اوضاع را سروسامان بدهیم و از چاهی که با ظناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته ایم بیرون بیاییم.
سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله های حساب بوده است.حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده هایی بودند که نسخه هایی از کتابهای قدیمی مربوط به مسئله های ((سود و زیان)) را داشتند.در حال حاضر، همه ی اینها از بین رفته است.در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی،جبری سازی، دانش آموزان را به روبات تبدیل کرده است.
مساله های حساب است که ((بی محتوایی)) ریاضیاتی را که تدریس می کنیم نشان می دهند مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید:
1.سه تا سیب داریم.یکی را برمی داریم.چند تا باقی مانده است؟
2.چند برش با اره لازم است تا تکه ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟
3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است.در خانواده ی او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟
از منظر حساب اینها مساله های متفاوتی هستند،زیرا محتوایشان فرق می کند.همچنین،تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله ها هم کاملآ متفاوت است،هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است: 2=1-3 جالب توجه ترین نکته در ریاضیات،فراگیر بودن شگفت آور الگوها و کارایی نامحدود انها در مساله های علمی است.
به قول ولادیمیر مایاکوفسکی،شاعر بزرگ روس: ((کسی که اولین بار دو بعلاوه ی دو می شود چهار را، مطرح کرده است حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد،ریاضیدان بزرگی بوده است.هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد،حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری،مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد،ریاضیدان نیست)) لوکوموتیو شماری،روش آمریکایی آموزش ریاضیات است.چنین چیزی مصیبت بار است.طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه ای است که نشان می دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است:ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشترفت کند،در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته اند برایشان فراهم کرده است.ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می ماند: تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم،سر و کله ی کامپیوترها پیدا می شود .باید شیوه ی فکر کردن را آموزش بدهیم،نه طرز فشار دادن دکمه ها را.

   + مهدی - ۱:۳٦ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/٩/۱٩

دیورژانس ۱

لینک مربوطه: دیورژانس ۱

منابع:

Arfken, G. "Divergence, del ·." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.


دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

 delta^'(-x)=-delta^'(x)  

 int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)           

 (delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)           

که در آن * علامت کانولوشن (convolution) است،

 int_(-infty)^infty|delta^'(x)|dx=infty,     

و

 x^2delta^'(x)=0.                  

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از delta(1/x) نوشته می شود نیز وجود دارد:

 int_(-1)^1delta(1/x)dx=0.           

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

 

 intf(x)delta(x-x_0)dx=f(x_0)

         

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای delta(x-a) بدست می دهد

1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)cos(nx)dx   =   a_n              

1/picos(na)   =                    

1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)sin(nx)dx   =   b_n              

1/pisin(na),   =                    

بنابراین

1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)[cos(na)cos(nx)+sin(na)sin(nx)]    =   delta(x-a)        

1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)cos[n(x-a)].    =                       

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

 delta(x)=F_k[1](x)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)dk.              

و به طور یکسان،

 F_x^(-1)[delta(x)](k)=int_(-infty)^inftydelta(x)e^(2piikx)dx=1              

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

 F_x[delta(x-x_0)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)delta(x-x_0)dx=e^(-2piikx_0).         

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها  epsilon->0 هم گاهاْ تعریف می شود

1/pilim_(epsilon->0)epsilon/(x^2+epsilon^2),   ==   delta(x)        

lim_(epsilon->0)1/2epsilon|x|^(epsilon-1)      =                 

lim_(epsilon->0^+)1/(2sqrt(piepsilon))e^(-x^2/(4epsilon))     =                 

lim_(epsilon->0)1/(pix)sin(x/epsilon)  =  =                 

lim_(epsilon->0)1/epsilonAi(x/epsilon) =   =                 

lim_(epsilon->0)1/epsilonJ_(1/epsilon)((x+1)/epsilon)   = =                 

lim_(epsilon->0)|1/epsilone^(-x^2/epsilon)L_n((2x)/epsilon)|,     =                 

که  Ai(x) تابع هوایی (Airy function)،  J_n(x) تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و   L_n(x) یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

DeltaFunctionN  

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

 delta(x)=lim_(n->infty)1/(2pi)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x)).                  

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

 delta^2(x,y)={0   x^2+y^2!=0; infty   x^2+y^2=0,           

 int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^2(x,y)dxdy=1          

 delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),          

و

 delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),         

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

 delta^2(x,y)=(delta(r))/(pi|r|)             

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

 delta^3(x,y,z)=delta^3(x)={0   x^2+y^2+z^2!=0; infty   x^2+y^2+z^2=0              

 int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^3(x,y,z)dxdydz=1            

و

 delta^3(x,y,z)=delta(x)delta(y)delta(z).            

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) (r,theta,z)،

 delta^3(r,theta,z)=(delta(r)delta(z))/(pir).             

در مختصات کروی (spherical coordinates) (r,theta,z)،

 delta^3(r,theta,phi)=(delta(r))/(2pir^2)            

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

1/(r_1)delta(r_1-r_2)delta(theta_1-theta_2)delta(z_1-z_2)   =   delta^3(r_1-r_2)            

1/(r_1)delta(r_1-r_2)1/(2pi)sum_(m=-infty)^(infty)e^(im(theta_1-theta_2))1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(ik(z_1-z_2))dk.   =                              

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات delta(x) نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

 x(1-x)y^('')+(4-6x)y^'-6y=0              

دارای پاسخ کلاسیکی

 y(x)=(C_1)/(x^3)+(x^2-x-1+2(x-2)ln(x-1))/(x^3(x-1))C_2,              

و پاسخ توزیعی زیر است

 y(x)=C_1delta^('')(x)

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی nام احتیاجی به داشتن n ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد.

لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function delta(x-a)." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

   + مهدی - ۱:٤۱ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/۸/۱٠

 

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی rho در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:

 del ·(rhou)=-(partialrho)/(partialt),                  

که  u میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد

 del ·u=0,                 

که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 

دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد

rho/(epsilon_0)   =   del ·E            

0,   =   del ·B            

که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم: E میدان الکتریکی، rho اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی، epsilon_0 ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت B معرف میدان مغناطیسی است.

بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.

فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن  F=(F_x,F_y,F_z) بلافاصله بدست می آید:

 del ·F=(partialF_x)/(partialx)+(partialF_y)/(partialy)+(partialF_z)/(partialz).              

این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد del · برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از del   به عنوان عملگر گرادیان (gradient) del =(partial/partialx,partial/partialy,partial/partialz)، "حاصلضرب نقطه ای" (dot product) این عملگر با میدان برداری اصلی F=(F_x,F_y,F_z) دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.

درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف

 F=F_1u_1^^+F_2u_2^^+F_3u_3^^,                 

دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (curvilinear coordinates) به صورت زیر داده می شود:

 del ·F=1/(h_1h_2h_3)[partial/(partialu_1)(h_2h_3F_1)+partial/(partialu_2)(h_3h_1F_2)+partial/(partialu_3)(h_1h_2F_3)].             

دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (unit vector) که با ماتریس A نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:

  del ·(Ax)/(|x|)=(Tr(A))/(|x|)-(x^(T)(Ax))/(|x|^3),        

که  Tr(A) رد ماتریس (matrix trace) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و x^(T) ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.

مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (covariant derivative) میدان تانسوری است:

 del ·A=A_(;alpha)^alpha.

   + مهدی - ۱:۳٦ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/۸/۱٠

گئورگ کانتور

گئورگ کانتور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
 
پرش به: ناوبری, جستجو
گئورگ کانتور

گئورگ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸ م) ریاضی‌دان آلمانی، زادهٔ روسیه و بنیان‌گذار نظریهٔ مجموعه‌ها بود. مفاهیمی مانند تناظر یک به یک و مجموعه‌های خوش‌ترتیب را وارد ریاضیات کرد. مفهوم بی‌نهایت را به دقت تعریف کرد و اثبات زیبایی از «بزرگ‌تر بودن» مجموعهٔ اعداد حقیقی از مجموعهٔ اعداد طبیعی (که هر دو بی‌نهایت عضو دارند) عرضه کرد.

زندگی [ویرایش]

او در شهر سن پترزبورگ، جایی که پدرش به عنوان تاجری توان‌مند زندگی می‌کرد، پا به عرصهٔ جهان گذاشت. در کودکی ویولونیست ماهری بود و استعداد ویژه‌ای در ریاضیات داشت.

 

   + مهدی - ٢:۱٤ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/٧/٢٧

راموناجان

خواص جالب گاهی درمیان اعداد به ظاهربی خاصیت وعادی مخفی می شود دراین مورد به داستان زیر اشاره می کنیم:
زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی(۱۸۷۷-۱۹۴۷ )برای عیادت ریاضیدان شهیر هندراموناجان
(۱۸۸۷-۱۹۲۰ )به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده عدد بی ربط وبی خاصیت1729 بوده است.راموناجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است زیر اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت.
کوچکترین عدد که خاصیت بالا درآن صدق می کندعدد87539319 می باشدکه درسال1957 توسط لیچ کشف شد:
به توان سه 436 + به توان سه 167 = 87539319
به توان سه 423+ به توان سه 228 =
به توان سه 414+ به توان سه 255 =
یا عدد635318657 که توسط اویلر یافت شده است:
به توان چهار 158 +به توان چهار 59 = 635318657
به توان چهار 134 + به توان چهار 133 =
برای کسب اطلاعات بیشتر رجوع شود به سایت زیر:
www.sciencenews.org
یا: http://euler.free.fr/taxicab.htm

   + مهدی - ۱٢:۱٥ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٠/٧/٢٤
← صفحه بعد